> with(linalg);
Take a generic matrix A with exactly one
non-zero entry in the last row, A(n,n):
> A:=matrix([[a11, a12, a13, a14],[a21, a22, a23, a24], [a31, a32, a33, a34], [0, 0, 0, a44]]);
| [ a11 |
a12 |
a13 |
a14 ] |
| [ a21 |
a22 |
a23 |
a24 ] |
| [ a31 |
a32 |
a33 |
a34 ] |
| [ 0 |
0 |
0 |
a44 ] |
Consider the determinant of this matrix:
> d:=det(A);
d := a11 a22 a33 a44 - a11 a32 a23 a44 - a21 a12 a33 a44 + a21 a32 a13 a44
+ a31 a12 a23 a44 - a31 a22 a13 a44
You see, all the terms contain a44. Take it
out:
> d1:=simplify(d/a44);
d1 := a11 a33 a22 - a11 a32 a23 - a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23
- a31 a13 a22
It is easy to see that we get the determinant of the matrix obtained from A by deleting the last row and the last column,
that is C44. To check it, let us find C44 directly:
> d2:=det([[a11,a12,a13],[a21,a22,a23],[a31,a32,a33]]);
d2 := a11 a33 a22 - a11 a32 a23 - a21 a12 a33 + a21 a13 a32 + a31 a12 a23
- a31 a13 a22
You see, these two expressions are identical.